DỊCH VỤ PHÂN TÍCH DỮ LIỆU

ĐỊNH NGHĨA

Có thể diễn giải qua ví dụ sau:

Ta có phân vị thứ p∈[0;100] và giá trị v_p tại vị trí p thì:

• có ít nhất p% các quan sát có giá trị ≤v_p
• có ít nhất (100-p)% các quan sát có giá trị ≥v_p

Cụ thể qua số liệu:

Chẳng hạn tại phân vị thứ 85 của tập dữ liệu X có giá trị là 20 thì sẽ có nhiều nhất 85% số quan sát có giá trị thấp hơn 20 và có nhiều nhất (100-85)=15% số quan sát có giá trị lớn hơn 20.

CÁCH XÁC ĐỊNH

Để xác định giá trị (v_p) của phân vị thứ p trong một tập dữ liệu, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự từ nhỏ nhất đến lớn nhất.

2. Tính chỉ số i:

Trong đó:
i là vị trí của giá trị dữ liệu tại phân vị thứ p
p là phân vị thứ p
n là tổng số quan sát

3. Xác định giá trị v_p

- Nếu i LÀ số nguyên thì phân vị thứ p là giá trị dữ liệu ở vị trí thứ i trong tập dữ liệu.

- Nếu i KHÔNG phải là số nguyên thì làm tròn i lên và làm tròn i xuống số nguyên gần nhất, sau đó tính trung bình hai giá trị dữ liệu ở hai vị trí này trong tập dữ liệu.

- Giá trị tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng trung vị phần dưới, tương đương với bách phân vị thứ 25.

- Giá trị tứ phân vị thứ hai Q2 chính bằng giá trị trung vị, tương đương với bách phân vị thứ 50.

- Giá trị tứ phân vị thứ ba Q3 bằng trung vị phần trên, tương đương với bách phân vị thứ 75.

VÍ DỤ

- Ta có: n = 29, p₁=70, p₂=83

- Vì i₁=21 là số nguyên nên ta sẽ sử dụng giá trị dữ liệu ở vị trí thứ 21 trong tập dữ liệu là 64.

=> Phân vị thứ 70 là 64. Có thể kết luận 70% nam diễn viên xuất sắc nhất đạt giải Oscar có độ tuổi thấp hơn 64 và 30% nam diễn viên xuất sắc nhất đạt giải Oscar trên 64 tuổi.

- Vì i₂=24,9 không phải là số nguyên nên ta sẽ làm tròn xuống 24 và làm tròn lên 25. Tuổi ở vị trí thứ 24 là 71 và tuổi ở vị trí thứ 25 là 72. Trung bình cộng 71 và 72 là 71,5.

=>Phân vị thứ 83 là 71,5 tuổi.

- Đầu tiên, sắp xếp lại tập X theo thứ tự tăng dần: X={1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5}

- Tập dữ liệu có 14 quan sát, giá trị trung vị nằm giữa giá trị thứ 7 (6,8) và giá trị thứ 8 (7,2). Giá trị trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị này:

Q1, là giá trị giữa của nửa dưới dữ liệu tương ứng với tập dữ liệu X₁={1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8}. Tập X₁ có 7 giá trị, do đó giá trị trung vị của tập dữ liệu X₁ là 2. => Q1 = 2

Q3, là giá trị nửa trên của dữ liệu tương ứng với tập dữ liệu X₂={7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5}. Tập X₂ có 7 giá trị, do đó giá trị trung vị của tập dữ liệu X₂ là 9. => Q3 = 9

Kết luận: ¼ tập dữ liệu có giá trị ≤2, ¾ tập dữ liệu có giá trị ≥2. Tương tự kết luận với Q2 và Q3.

ỨNG DỤNG

Bách phân vị được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: đo lường băng thông internet, thước đo sự phát triển của trẻ em trong y học, đo lường mốc giới hạn tốc độ, báo cáo điểm số tổng quan trong các bài kiểm tra hay trong các lĩnh vực tài chính, v.v…

Ví dụ trong y học: Một trẻ nam 2 tuổi có chiều cao 110cm và cân nặng 13,3kg; khi so sánh với biểu đồ bách phân vị cân nặng và chiều cao theo độ tuổi của WHO thì chiều cao ở mức bách phân vị 50 và cân nặng ở mức bách phân vị 85.
=> Kết luận: Đứa trẻ này cao hơn so với 50 trẻ và nặng hơn so với 85 trẻ khác trong 100 trẻ cùng lứa tuổi và giới tính.

Ngoài những ứng dụng tương tự như bách phân vị, tứ phân vị còn có công dụng kiểm soát tác động của những giá trị ngoại lệ (Outliers) ở 2 đầu mút. Để hiểu rõ hơn, ta sẽ tiếp tục tìm hiểu trong đại lượng tiếp theo: Khoảng trải giữa (InterQuartile Range)

ĐỊNH NGHĨA

Phương sai thường được ký hiệu theo tính chất của tập dữ liệu:

- Đối với dữ liệu là một tổng thể: phương sai ký hiệu là σ²

- Đối với dữ liệu là mẫu từ tổng thể: phương sai ký hiệu là s²

Tương tự, độ lệch chuẩn cũng được ký hiệu:

- Đối với dữ liệu là một tổng thể: phương sai ký hiệu là σ

- Đối với dữ liệu là mẫu từ tổng thể: phương sai ký hiệu là s

CÔNG THỨC TÍNH

Phương sai là giá trị trung bình của bình phương khoảng cách của mỗi điểm dữ liệu tới điểm trung bình.

- Đối với dữ liệu là một tổng thể:

Công thức tính:

Trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i

μ là giá trị trung bình tổng thể

N là tổng số quan sát của tổng thể

- Đối với dữ liệu là một mẫu từ tổng thể:

Công thức tính:

Trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i

x ̅  là giá trị trung bình của mẫu dữ liệu

n là số quan sát trong mẫu dữ liệu

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.

- Đối với dữ liệu là một tổng thể:

Công thức tính:

Trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i

μ là giá trị trung bình tổng thể

N là tổng số quan sát của tổng thể

- Đối với dữ liệu là một mẫu từ tổng thể:

Công thức tính:

Trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i

x ̅  là giá trị trung bình của mẫu dữ liệu

n là số quan sát trong mẫu dữ liệu

VÍ DỤ

- Tính giá trị trung bình của 2 mẫu dữ liệu:

- Phương sai:

=> Kết luận: Phương sai của cự ly 1500m có giá trị cao hơn cự ly 500m, cho thấy có sự biến động mạnh hơn, tức dữ liệu có sự dàn trải rộng hơn giữa thời gian chạy của 5 người này..

- Tính giá trị trung bình của 2 mẫu dữ liệu:

- Độ lệch chuẩn:

s₅₀₀=3.38

s₁₅₀₀=7.77

=> Kết luận: Độ lệch chuẩn của cự ly 500m cho biết thời gian chạy 500m của 5 người này chỉ lệch trung bình 3.38s so với thời gian chạy trung bình 500m là 57.96s. Nhưng độ lệch chuẩn của cự ly 1500m đến 7.77s cho thấy với cự ly dài hơn thì thành tích trung bình của 5 vận động viên sẽ có sự khác biệt đáng kể hơn so với cự ly 500m.

ỨNG DỤNG

Phương sai được sử dụng trong các lĩnh vực như: trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của sản xuất; trong chăn nuôi, nó biểu thị độ đồng đều của các con gia súc; trong trồng trọt, nó biểu thị mức độ ổn định của năng suất; trong tài chính, nó là một tham số quan trọng trong phân bổ tài sản đầu tư, giúp các nhà đầu tư phát triển danh mục đầu tư tốt hơn bằng cách tối ưu hóa sự đánh đổi giữa rủi ro và lợi nhuận với mỗi khoản đầu tư, …

Bởi vì dễ hình dung và dễ áp dụng hơn nên độ lệch chuẩn thường được sử dụng như một thước đo chính của sự thay đổi của các dữ liệu trong tập dữ liệu.

Độ lệch chuẩn được sử dụng cho một số lĩnh vực như kiểm soát chất lượng sản phẩm, dự báo thời tiết, đo lường rủi ro biến động trên thị trường tài chính.

Ngoài ra, độ lệch chuẩn cũng có công dụng giúp chuẩn hóa giá trị của các dãy số khác nhau về cùng 1 miền dữ liệu.

LƯU Ý

Phương sai lớn cho thấy có nhiều sự biến động trong các giá trị của tập dữ liệu và có thể có khoảng cách lớn hơn giữa giá trị các quan sát với nhau. Nếu tất cả các quan sát đứng gần nhau, phương sai sẽ nhỏ. Tuy nhiên, việc giải thích giá trị phương sai một cách trực quan sẽ khó hiểu hơn nhiều so với độ lệch chuẩn.
 

Hạn chế lớn nhất của việc sử dụng độ lệch chuẩn là nó có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ và các giá trị âm.